Mathe / Analysis / Klasse 10–11

Die Ableitung: Steigung in einem Punkt

Kurz erklärt

Die Ableitung f'(x₀) ist die Steigung des Graphen genau an der Stelle x₀. Man bekommt sie, indem man eine Sekante durch zwei Punkte legt und den zweiten Punkt immer näher an den ersten heranschiebt. Die Sekante wird dann zur Tangente, und ihre Steigung ist f'(x₀).

Bei einer Geraden ist die Steigung überall gleich. Bei einer Kurve wie der Parabel f(x) = x² ändert sie sich ständig: links fällt der Graph, rechts steigt er immer steiler. Die Frage ist also: Wie steil ist der Graph genau an einer bestimmten Stelle?

Die Idee: Wir legen eine Gerade durch zwei Punkte des Graphen, eine Sekante. Ihre Steigung können wir ausrechnen. Dann schieben wir den zweiten Punkt immer näher an den ersten heran.

Sekantensteigung m = (f(x₀ + h) − f(x₀)) ÷ h

Für viele Funktionen gibt es eine Abkürzung, die Potenzregel: Aus f(x) = xⁿ wird f'(x) = n · xⁿ⁻¹. Für f(x) = x² heißt das f'(x) = 2x. An der Stelle x₀ = 1 ist die Steigung also 2. Genau diesen Wert zeigt dir die Grafik, wenn h fast null ist.

Probier es selbst

Aufgabe 1 auch mit Stift

Gegeben ist f(x) = x². Wie groß ist die Steigung des Graphen an der Stelle x₀ = 3?

Aufgabe 2 auch mit Stift

Bilde die Ableitung von f(x) = x³.

Aufgabe 3 auch mit Stift

Bilde die Ableitung von f(x) = 2x² + 3x − 5.

Aufgabe 4

Was gibt f'(2) = −1 an?

Häufige Fehler

Beim Ableiten den Exponenten vergessen: Aus x³ wird 3x², nicht x².
Konstanten mitableiten: Die Ableitung von 5 ist 0, denn eine waagrechte Gerade hat keine Steigung.
f(x₀) mit f'(x₀) verwechseln: f(x₀) ist die Höhe des Punktes, f'(x₀) die Steigung dort.

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